Machine Morning

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ガンマ関数とは

ベータ分布やディリクレ分布の確率密度関数にΓ関数（ガンマ関数）が出てくる。いったいこのガンマ関数は何をしているのか。

まず、ガンマ関数の概要を説明する。ガンマ関数とは階乗の概念を複素数に拡張し、一般化したものだ。「正の整数以外の階乗とは何だ？！」と思ってしまうが、広義積分することで複素数（もちろん実数も含む）も階乗可能になる。ただし、筆者の使用用途では、正の実数以外の階乗を求めることはないので、ここでは複素数には踏み込まない。

ガンマ関数の定義

$\Gamma \left( z\right) =\int ^{\infty }_{0}t^{z-1}e^{-t}dt$

$\Gamma \left( z\right) =\left( z-1\right) !$

上の式は $z$ が正の整数以外の値を取る場合、下の式は $z$ が正の整数の値を取る場合である。これらの関数で $0$ や $\dfrac {1}{2}$ などの実数の階乗を求めることができる。

ちなみに0の階乗は1である。

なぜガンマ関数は階乗になるのか

次の動画を見ればわかるので、省略。

ガウス 積分とは

ガウス積分とはガウス関数 $e^{-x^{2}}$ を実数全体で広義積分した、 $\int ^{\infty }_{-\infty }e^{-x^{2}}dx=\sqrt {\pi }$ のことである。

$e^{-x^{2}}$ はガウス関数の原型 $f\left( x\right) =ae^{-\dfrac {\left( x-b\right) ^{2}}{2c^{2}}}$ に $a = 1$ 、 $b = 0$ 、 $c = \dfrac{1}{\sqrt{2}}$ 代入したものである。

ガウス関数 $y = e^{-x^{2}}$ をグラフにしてみると正規分布（ガウス分布）の形になる。ただし、厳密には形が似ているだけで、全体の面積（確率）は1になっていないので正規分布ではない。

$a$ は定数、 $b$ は平均、 $c$ は分散で、 $a$ に $\dfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}$ を与えて、全体の面積を1に規格化することでおなじみの正規分布となる。

全体の面積を1に規格化したガウス関数は平均と分散の値によらず、実数全体の範囲で積分すると1になる。

参考

https://lecture.ecc.u-tokyo.ac.jp/~nkiyono/2006/miya-gamma.pdf

確率・統計 (5) 正規分布