テイラー展開からオイラーの等式を導く

世界一美しい等式として有名なオイラーの等式 $e^{i\pi }+1=0$ を導出する。

導出の手順は以下の通りである。

$e^{x}$ 、 $\cos{x}$ 、 $\sin{x}$ の多項式近似をテイラー展開で求める。
$\cos{x}$ と $\sin{x}$ を足す。
虚数 $i$ を指数に導入する。
$x$ に $\pi$ を代入する。

まず初めに、 $e^{x}$ 、 $\cos{x}$ 、 $\sin{x}$ の多項式近似をテイラー展開で求めると以下のようになる。

$e^{x}=1+\dfrac {x}{1!}+\dfrac {x^{2}}{2!}+\dfrac {x^{3}}{3!}+\dfrac {x^{4}}{4!}+\dfrac {x^{5}}{5!}+\dfrac {x^{6}}{6!}+\dfrac {x^{7}}{7!}+\dfrac {x^{8}}{8!}+\ldots$

$\cos x=1-\dfrac {x^{2}}{2!}+\dfrac {x^{4}}{4!}-\dfrac {x^{6}}{6!}+\dfrac {x^{8}}{8!}-\ldots$

$\sin x=\dfrac {x}{1!}-\dfrac {x^{3}}{3!}+\dfrac {x^{5}}{5!}-\dfrac {x^{7}}{7!}+\ldots$

これらは見ての通りよく似ており $x$ が奇数のときは $\sin{x}$ 、偶数のときでは $\cos{x}$ となっているように見える。そこで、多項式近似した $\cos{x}$ と $\sin{x}$ を足し、 $\cos{x} + \sin{x}$ を求める。

$\cos x+\sin x=1+\dfrac {x}{1!}-\dfrac {x^{2}}{2!}-\dfrac {x^{3}}{3!}+\dfrac {x^{4}}{4!}+\dfrac {x^{5}}{5!}-\dfrac {x^{6}}{6!}-\dfrac {x^{7}}{7!}+\dfrac {x^{8}}{8!}+\ldots$

すると、各項の符号が前から順にプラス(+)、プラス(+)、マイナス(-)、マイナス(-)となっていることがわかる。ここで、各項にこの順番で符号を与えるために、虚数単位 $i$ を導入する。 $i$ は以下に示す通すり、累乗ごとに符号が、プラス(+)、プラス(+)、マイナス(-)、マイナス(-)と循環する。

$i^{0} = 1$

$i^{1} = i$

$i^{2} = -1$

$i^{3} = -i$

$i^{4} = 1$

$i^{5} = i$

$i^{6} = -1$

$i^{7} = -i$

$i^{8} = 1$

次に $e^{x}$ に $ix$ を代入すると、

$e^{ix}=1+\dfrac {ix}{1!}+\dfrac {i^{2}x^{2}}{2!}+\dfrac {i^{3}x^{3}}{3!}+\dfrac {i^{4}x^{4}}{4!}+\dfrac {i^{5}x^{5}}{5!}+\dfrac {i^{6}x^{6}}{6!}+\dfrac {i^{7}x^{7}}{7!}+\dfrac {i^{8}x^{8}}{8!}+\ldots$

となり、式変形すると以下のようになる。

$e^{ix}=1+\dfrac {ix}{1!}-\dfrac {x^{2}}{2!}+\dfrac {ix^{3}}{3!}-\dfrac {x^{4}}{4!}+\dfrac {ix^{5}}{5!}-\dfrac {x^{6}}{6!}+\dfrac {ix^{7}}{7!}-\dfrac {x^{8}}{8!}+\ldots$

これを実部（前半のカッコ内）と虚部（後半のカッコ内）に分けると、

$e^{ix}=\left( 1-\dfrac {x^{2}}{2!}+\dfrac {x^{4}}{4!}-\dfrac {x^{6}}{6!}+\dfrac {x^{8}}{8!}-...\right) +i\left( \dfrac {x}{1!}-\dfrac {x^{3}}{3!}+\dfrac {x^{5}}{5!}-\dfrac {x^{7}}{7!}+\ldots \right)$