標本平均の分散はなぜサンプルサイズnで割るのか

標本平均の分散 $\dfrac {\sigma ^{2}}{n}$ （ただし $\sigma ^{2}$ は母分散、 $n$ はサンプルサイズ）がなぜこのような形になっているのか。

結論から言うと、サンプルサイズ $n$ が大きければ標本平均の分散 $V\left[\overline {x}\right]$ は0に収束し、標本平均の期待値 $E\left[ \overline {x}\right]$ が母平均 $\mu$ に収束するからである。これは大数の法則が主張したいことそのものである。

母集団から任意のサンプルサイズ $n$ 個の標本を無作為に抽出し、その標本平均 $\overline {x}$ を求める。この復元抽出を繰り返し行い、毎回の標本平均 $\overline {x}$ を求め、標本平均の分散 $V\left[\overline {x}\right]$ を求める。例えば、サンプルサイズ $n$ が $2$ 個や $3$ 個といった小さな数で抽出を繰り返せば、標本平均 $\overline {x}$ は毎回大きく違った値を取ることが予想される。反対に、サンプルサイズ $n$ を増やし $10000$ や $100000000$ などといったたくさんの標本を抽出することで、毎回似たような標本平均が得られることが予想できる。抽出する数 $n$ を増やせば増やすほど、標本平均の分散 $V\left[\overline{x} \right]$ は $0$ に収束し、標本平均 $\overline {x}$ は母平均 $\mu$ に収束する。